Hagen-Poiseuillesches Gesetz
Definition
- Das Hagen-Poiseuillesche Gesetz gibt das Volumen V einer homogenen
Flüssigkeit mit newtonschem Fließverhalten und der Viskosität η
an, welches innerhalb einer
bestimmten Zeit t bei Vorliegen einer laminaren Strömung
durch ein kreiszylindrisches Rohr der Länge l und des Radius r bei einem
Druck von p fließt.
Formel
| dV/dt |
: |
Volumenstrom [m3/s] |
| r |
|
Innenradius des Rohrs [m] |
| η |
: |
Dynamische Viskosität der strömenden Flüssigkeit [Pa·s] |
| l |
: |
Länge des betrachteten Rohrabschnitts [m] |
Bemerkungen
- Für alltägliche Probleme bemerkenswert ist die große Abhängigkeit des
Volumenstroms von der vierten Potenz des Innenradius des Rohres. Damit
hängt auch der Strömungswiderstand primär vom Radius des Rohres ab.
- Das Gesetz folgt direkt aus dem stationären, parabolischen Strömungsprofil durch ein Rohr, das aus den Navier-Stokes-Gleichungen hergeleitet werden kann.
- Durch Umformung des Gesetzes lässt sich auch auf die Geschwindigkeit v eines Flüssigkeitsvolumens im Abstand rx vom
Zentrum des Rohres mit dem Innenradius ri schließen. Es gilt:
| v(r) |
: |
Geschwindigkeit des Flüssigkeitsvolumens im Abstand r
vom Zentrum des Rohrs [m·s-1] |
| Δp |
: |
Druckdifferenz über die betrachtete Länge des Rohres [Pa] |
| η |
: |
Viskosität der Flüssigkeit [Pa·s] |
| l |
: |
Länge des Rohrs [m] |
| rges |
: |
Innenradius des Rohrs [m] |
| r |
: |
Abstand vom Zentrum des Rohrs [m] |
- Durch einfache Umformung lässt sich die Viskosität einer Flüssigkeit (z.B.
für Kugelfallviskosimeter) aus den anderen, einfach zu messenden Parametern des Hagen-Poiseuilleschen
Gesetzes berechnen:
| η |
: |
Viskosität der Flüssigkeit [Pa·s] |
| ρ |
: |
Dichte der Flüssigkeit [kg/m3] |
| g |
: |
Erdbeschleunigung [m/s2] |
| Δh |
: |
Höhendifferenz [h] |
| r |
: |
Innenradius des Rohrs [m] |
| t |
: |
Zeit [s] |
| V |
: |
Volumen [m3] |
| l |
: |
Länge des Rohrs [m] |
Zur Verdeutlichung...
- Bei gleichbleibendem Druck fließt durch ein doppelt so langes Rohr in der
gleichen Zeit nur halb so viel Flüssigkeit.
- Bei doppeltem Druck fließt durch ein gleichlanges Rohr in der gleichen
Zeit doppelt so viel Flüssigkeit.
- Bei doppeltem Radius fließt durch ein gleichlanges Rohr bei gleichem
Druck die 16fache Flüssigkeitsmenge - bei halbem Radius sind es somit nur
noch 1/16.
- Eine Erhöhung des Radius um 10 % erhöht den Volumenstrom um über 46
%, eine Reduktion im 10 % vermindert ihn um über 34 %. Um letzteres
auszugleichen müsste der Druck um über 52 % angehoben werden.
Geschichtliches
- Das Gesetz wurde von Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (1797 - 1884) und Jean Louis Marie
Poiseuille (1797 - 1869) erstmals beschrieben.
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