Arithmetisches Mittel
Synonym
- Durchschnittswert, "Mittelwert", Standardmittelwert
Formel
xm : Mittelwert von x xi : i-ter Wert aus x n : Anzahl der Werte aus x
Bemerkungen
- Das arithmetische Mittel ist der am häufigsten eingesetzte Mittelwert.
- Es bildet das mathematische Mittel aller Messwerte x indem es die aussummierten Einzelwerte durch die Anzahl der Messungen teilt.
- Das arithmetische Mittel mehrerer Stichproben eignet sich bei normalverteilten Größen auch gut zur Schätzung des Erwartungswerts. Ein Problem des arithmetischen Mittels besteht hier jedoch in seiner hohen Empfindlichkeit gegenüber Ausreißern.
Beispiel
Einfluss von Ausreißern auf den Mittelwert
Ohne Ausreißer
- Einzelwerte (z.B. Monatseinkommen): 500 €, 800 €, 700 €, 650 €, 450 €, 300 €, 350 €
- Arithmetisches Mittel (z.B. durchschnittliches Monatseinkommen): 535,71 €
Mit Ausreißer nach oben
- Einzelwerte (z.B. Monatseinkommen): 500 €, 8000 €, 700 €, 650 €, 450 €, 300 €, 350 €
- Arithmetisches Mittel (z.B. durchschnittliches Monatseinkommen): 1564,29 €
Beispiel mit Ausreißern nach unten
- Einzelwerte (z.B. Monatseinkommen): 500 €, 0 €, 700 €, 650 €, 450 €, 0 €, 350 €
- Arithmetisches Mittel (z.B. durchschnittliches Monatseinkommen): 378,57 €
Bemerkungen
- Wie man sieht, kann ein einzelner, stark vom Durchschnitt der anderen Werte abweichender Wert das Ergebnis stark beeinflussen. Bei normalerweise niedrigen Werten können Ausreißer nach oben sehr viel stärkere Effekte zeigen, als Ausreißer nach unten, da diese hier wenigstens noch 0 sein müssen. Ein wirkliche Normalverteilung kann also nicht vorliegen, da bestimmte Werte schlichtweg völlig unmöglich sind.
- Die Angabe eines Durchschnittseinkommens ist - nicht nur im Bespiel - somit weitgehend ohne Aussagekraft über die tatsächliche finanzielle Situation der Mehrzahl der Bürger.