Higuchi-Gleichung
Definition
- Die Higuchi-Gleichung beschreibt die Freisetzung einer in einer unlöslichen Matrix homogen verteilten Substanz aus dieser Matrix. Das zu Grunde gelegte Freisetzungsprinzip ist Diffusion.
Formel
mt : Freigesetzte Substanzmenge zum Zeitpunkt t [kg] A : Fläche, über die die Diffusion erfolgt [m2] kr : Geschwindigkeitskonstante [kg·m-2·s-0,5] t : Zeit [s]
Bemerkungen
- Leitet man die oben angegebene Formel ab, so erhält man die Freigabegeschwindigkeit dm/dt:
mt : Freigesetzte Substanzmenge zum Zeitpunkt t [kg] A : Fläche, über die die Diffusion erfolgt [m2] kr : Geschwindigkeitskonstante [kg·m-2·s-0,5] t : Zeit [s]
- Die Geschwindigkeitskonstante kr ist abhängig vom betrachteten System, wie weiter unten gezeigt wird.
- Wichtig ist stets zu beachten, dass die Higuchi-Gleichung nur für Suspensionen gilt. Liegt die Substanz stattdessen gelöst in der Matrix vor, so gilt das 2. Ficksche Gesetz.
Herleitung
- In einer Matrix liege die freizusetzende Substanz homogen verteilt aber praktisch ungelöst vor ("ideale" Suspension). Das so aufgebaute System bildet ein Reservoir, aus dem die Substanz nach ihrer Auflösung per Diffusion austreten kann.
- Wenn das Lösungsmittel in die Matrix eindringt, werden die äußeren Bereich des Reservoirs zuerst erreicht und die Substanz aus der Matrix gelöst.
- Weiter innen liegende Substanzpartikel werden beim weiteren Eindringen des Lösungsmittels zunächst praktisch nicht gelöst, da das eindringende Lösungsmittel bereits durch Aufnahme weiter außen liegender Substanzpartikel gesättigt ist.
- Bei rascher Löslichkeit der Substanz entsteht so innerhalb der Matrix eine relativ scharfe Front, an der die Substanz in Lösung geht.
- Direkt an der Front herrscht die Sättigungskonzentration für den betrachteten Stoff, während an der Matrixoberfläche im Idealfall die gleiche Konzentration wie im umgebenden Freigabemedium herrscht. Somit besteht zwischen der Lösungsfront und der Matrixoberfläche ein Konzentrationsgefälle, das durch Diffusion überwunden werden muss, womit hier das 2. Ficksche Gesetz gilt.
- Während die Konzentrationsdifferenz zwischen Lösungsfront und Matrixoberfläche mit zunehmendem Voranschreiten der Lösungsfront ins Innere der Matrix gleich bleibt, verringert sich der Konzentrationsgradient, da die zu überwindende Diffusionsstrecke zunimmt.
- Beachtet man nun, dass die Zeit zur Überwindung einer bestimmten Diffusionsstrecke quadratisch zur Entfernung ansteigt, muss hier also die nach außen gelangende Wirkstoffmenge proportional zur Wurzel der Zeit sein.
Nicht-poröse Matrix
- Ist die Substanz in einer nicht erodierenden, nicht porösen Matrix weitgehend homogen suspendiert, so ergibt sich für kr:
kr : Geschwindigkeitskonstante [kg·m-2·s-0,5] D : Diffusionskoeffizient [m2·s-1] cs : Sättigungskonzentration in der Matrix [kg·m-3] m0 Masse der Substanz zum Zeitpunkt 0 [kg] V : Volumen der Matrix [m3]
- Kann die Löslichkeit der Substanz in der Matrix vernachlässigt werden, da sie im Vergleich zu m0/V sehr klein ist, so lässt sich dieser Term vereinfachen zu:
Poröse Matrix
- In einer porösen, nicht erodierenden Matrix müssen zusätzlich die Länge und Tortuosität der Kapillaren sowie ihr Volumenanteil am Volumen der Gesamtmatrix, also deren Porosität beachtet werden. Somit folgt nun für kr:
kr : Geschwindigkeitskonstante [kg·m-2·s-0,5] D : Diffusionskoeffizient [m2·s-1] ε : Tortuosität der Matrixporen τ : Porosität der Matrix cs : Sättigungskonzentration in der Matrix [kg·m-3] m0 Masse der Substanz zum Zeitpunkt 0 [kg] V : Volumen der Matrix [m3]
Geschichtliches
- Die Gleichung wurde 1961 von T. Higuchi veröffentlicht, wobei sie ursprünglich auf die Freisetzung von suspendiert vorliegendem Arzneistoff aus Salben bezogen war.